Saccheri ve Olmayana Ergi Yöntemi

Olmayana-ergi reductio-ad-absurdum, kısaca RAA), klasik çaÄŸdan beri kullanılan güçlü, hatta kimi durumlarda vazgeçilmez bir ispat yöntemidir. Yöntemin özünü şöyle dile getirebiliriz: Ä°spatı istenen önermenin, yanlış sayılması halinde, bir çeliÅŸkiye yol açıp açmadığına bakılır: ÇeliÅŸki varsa, ispata konu önermeyi yanlış deÄŸil, doÄŸru sayma gereÄŸi ortaya çıkar; çeliÅŸki yoksa, önerme yanlış demektir, reddedilir. Ä°spatladığını biliyoruz. Gene, ‘nin rasyonel bir sayı olmadığı da bu yöntemle ispatlanmıştır.

Olmayana-ergi, mantığın iki temel ilkesine dayanır: ÇeliÅŸmezlik ilkesi (ki, “bir önerme hem yanlış, hem doÄŸru olamaz” der.) Diyelim ki, ispatı istenen P gibi bir önerme var elimizde. Olmayana-ergi yöntemine baÅŸvuruyorsak, P’yi yanlış sayar, bu sayıtlının bir çeliÅŸki doÄŸurup doÄŸurmadığına bakarız. Yanlış saydığımız P, gerçekte doÄŸru ise, daha önce doÄŸruluÄŸu bilinen ya da varsayılan Q gibi bir baÅŸka önermeyi yanlış saymamız gerekecektir. Ne var ki, mantığın çeliÅŸmezlik ilkesi gereÄŸi Q’yu hem doÄŸru, hem de yanlış sayamayız. Q’yu baÅŸtan doÄŸru kabul ettiÄŸimize göre, yadsınması (Q-deÄŸil) yanlış demektir. DoÄŸru bir önerme yanlış bir önerme içermeyeceÄŸine göre, P’yi yanlış sayamayız; öyleyse P doÄŸrudur. Iste Saccheri bu yöntem aracılığıyla Euclides’in 5. postulatının yarattığı sıkıntıyı giderme çabasındaydı. Amacı, geometriyi sürüp gelen bir pürüzden kurtarmaktı. Nitekim, ölümünden birkaç ay önce yayımlanan kitabı, Tüm Kusurlardan Arındırılmış Euclides adını taşıyordu. Saccheri daha önceki giriÅŸimleri, bu arada Nasır-edin ile Wallis’ın çalışmalarını biliyor, bunların ne yönden yetersiz kaldığını anlıyordu. Ä°ÅŸe, olmayana-ergi gereÄŸi, paralel postulatı yanlış sayarak koyulur, bir çeliÅŸki elde etmeye çalışır. Bunun için, taban açıları dik, tabana bitiÅŸik kenarları çakışan dörtgenleri ele alır. (Bunlara daha sonra “Saccheri Dörtgenleri” denmiÅŸtir.) Åžimdi, nötr geometride(1) tavan açılarının çakıştığı kolayca ispatlanabilir:

Olası üç durumdan söz edilebilir:

Durum 1:    Tavan açılar dik açıdır.

Durum 2:    Tavan açılar geniş açıdır.

Durum 3:    Tavan açılar dar açıdır.

Saccheri, Euclides geometrisine göre, doÄŸru olan Durum 1′i ispatlamak ister; öteki iki durumun yanlış olduÄŸunu göstermeye çalışır. Durum 2′nin çeliÅŸkiye götürdüğünü göstermeyi baÅŸarır. Şöyle ki, tavan açıları geniÅŸ olsaydı, dörtgenin açı toplamı 360 dereceden fazla olurdu; bu ise daha önce ispatlanmış bir teoremle çeliÅŸkiye düşmek demekti.

Durum 3′e gelince, Saccheri, tüm çabasına karşın, bir çeliÅŸki elde edemez, çaresizlik içinde şöyle seslenir: “Dar açı hipotezinin kesinlikle yanlış olduÄŸunu biliyorum; çünkü böyle bir düşünce doÄŸrusal çizginin doÄŸasına aykırıdır.”

Saccheri farkında olmaksızın Euclides-dışı bir geometriye ulaÅŸmıştı; ama onun durumu, bulduÄŸu pırlantayı cam parçası sanan birine benziyordu. Matematik dünyası, 1889′da gene bir Ä°talyan matematikçisi olan Beltrami’nin ele alıp tanıtmasına kadar Saccheri’nin çalışmasından habersiz kalır.