Saccheri ve Olmayana Ergi Yöntemi
Olmayana-ergi reductio-ad-absurdum, kısaca RAA), klasik çağdan beri kullanılan güçlü, hatta kimi durumlarda vazgeçilmez bir ispat yöntemidir. Yöntemin özünü şöyle dile getirebiliriz: İspatı istenen önermenin, yanlış sayılması halinde, bir çelişkiye yol açıp açmadığına bakılır: Çelişki varsa, ispata konu önermeyi yanlış değil, doğru sayma gereği ortaya çıkar; çelişki yoksa, önerme yanlış demektir, reddedilir. İspatladığını biliyoruz. Gene, ‘nin rasyonel bir sayı olmadığı da bu yöntemle ispatlanmıştır.
Olmayana-ergi, mantığın iki temel ilkesine dayanır: Çelişmezlik ilkesi (ki, “bir önerme hem yanlış, hem doğru olamaz” der.) Diyelim ki, ispatı istenen P gibi bir önerme var elimizde. Olmayana-ergi yöntemine başvuruyorsak, P’yi yanlış sayar, bu sayıtlının bir çelişki doğurup doğurmadığına bakarız. Yanlış saydığımız P, gerçekte doğru ise, daha önce doğruluğu bilinen ya da varsayılan Q gibi bir başka önermeyi yanlış saymamız gerekecektir. Ne var ki, mantığın çelişmezlik ilkesi gereği Q’yu hem doğru, hem de yanlış sayamayız. Q’yu baştan doğru kabul ettiğimize göre, yadsınması (Q-değil) yanlış demektir. Doğru bir önerme yanlış bir önerme içermeyeceğine göre, P’yi yanlış sayamayız; öyleyse P doğrudur. Iste Saccheri bu yöntem aracılığıyla Euclides’in 5. postulatının yarattığı sıkıntıyı giderme çabasındaydı. Amacı, geometriyi sürüp gelen bir pürüzden kurtarmaktı. Nitekim, ölümünden birkaç ay önce yayımlanan kitabı, Tüm Kusurlardan Arındırılmış Euclides adını taşıyordu. Saccheri daha önceki girişimleri, bu arada Nasır-edin ile Wallis’ın çalışmalarını biliyor, bunların ne yönden yetersiz kaldığını anlıyordu. İşe, olmayana-ergi gereği, paralel postulatı yanlış sayarak koyulur, bir çelişki elde etmeye çalışır. Bunun için, taban açıları dik, tabana bitişik kenarları çakışan dörtgenleri ele alır. (Bunlara daha sonra “Saccheri Dörtgenleri” denmiştir.) Şimdi, nötr geometride(1) tavan açılarının çakıştığı kolayca ispatlanabilir:
Olası üç durumdan söz edilebilir:
Durum 1: Tavan açılar dik açıdır.
Durum 2: Tavan açılar geniş açıdır.
Durum 3: Tavan açılar dar açıdır.
Saccheri, Euclides geometrisine göre, doğru olan Durum 1′i ispatlamak ister; öteki iki durumun yanlış olduğunu göstermeye çalışır. Durum 2′nin çelişkiye götürdüğünü göstermeyi başarır. Şöyle ki, tavan açıları geniş olsaydı, dörtgenin açı toplamı 360 dereceden fazla olurdu; bu ise daha önce ispatlanmış bir teoremle çelişkiye düşmek demekti.
Durum 3′e gelince, Saccheri, tüm çabasına karşın, bir çelişki elde edemez, çaresizlik içinde şöyle seslenir: “Dar açı hipotezinin kesinlikle yanlış olduğunu biliyorum; çünkü böyle bir düşünce doğrusal çizginin doğasına aykırıdır.”
Saccheri farkında olmaksızın Euclides-dışı bir geometriye ulaşmıştı; ama onun durumu, bulduğu pırlantayı cam parçası sanan birine benziyordu. Matematik dünyası, 1889′da gene bir İtalyan matematikçisi olan Beltrami’nin ele alıp tanıtmasına kadar Saccheri’nin çalışmasından habersiz kalır.
Etiketler: Matematik Tarihi, olmayana ergi yöntemi, saccahari ve olmayana ergi yöntemi, saccheri