Babil ve Mısır’da Matematik ve Geometri

Babil ve Mısır’da Matematik ve Geometri

Eski Mısırlıların çalışmalarını taş ve papirüs üzerine geçirdiklerini kayıtlardan öğreniyoruz. Bunların bir bölümü günümüze kadar gelmiştir. Babilliler ise daha dayanıklı olan tuğlalar kullanıyorlardı. Oysa Hint ve Çin kültür çevrelerinde kullanılan ağaç kabuğu ya da bambu o denli dayanıklı değildi. Bu yüzden onların başarılarına ilişkin bilgilerimiz son derece yetersiz kalmıştır.

Antik Yunan öncesi matematiğin belirgin özelliği, sınama-yanılma  yöntemine bağlı, empirik bilgi düzeyinde kalan bir çalışma olmasıdır. Başka türlü olması da kolayca beklenemezdi; çünkü, daha önce de belirttiğimiz üzere, hem Mısır’da hem de Mezopotamya’da matematik, yaşamın pratik ihtiyaçlarından kaynaklanan bir çalışmaydı. Nitekim iki kültürde de kullanılan alan ve hacim formülleri, sınama-yanılma yöntemine dayandığından, birtakım hatalar içeriyordu. Örneğin, Mısırlılar dairenin alanını, çapının dokuzda sekizini alarak hesaplıyorlardı. Bu yanlıştı, çünkü kullandıkları formülde p sayısı 3.1604…e eşdeğer alınmıştı. Babilliler ise hata  payı daha yüksek olan p = 3 değerini kullanıyorlardı. Onların bir başka hatalı formülü de, kesik bir koninin ya da kare piramidin hacmini,yükseklikle tabanların toplamının yarısının çarpımına eşit saymalarında kendini göstermektedir. Bunun gibi, dörtgenlerin alanını bulmak için kullandıkları A = (a + c) (b + d) / 4 formülü de (formülde a, b, c, d dörtgenin kenarlarını simgelemekte), dikdörtgenler dışındaki dörtgenler için yanlış sonuç veriyordu. Ne var ki bu yanlış formüle, aradan 3000 yıl geçtikten sonra bile İ.Ö.51′de ölen XI. Ptolemy (Batlamyus)’nin mezar taşında da rastlanmıştır. Empirik gözlem ile sınama-yanılma yöntemine bağlı bu tür bilgilerin, gerçek anlamda, bir bilim oluşturduğu söylenemez. Bugüne değin, ne Babillilerin ne de Mısırlıların ispat kavramına ulaştıklarını gösteren tarihsel bir belge ya da kanıta rastlanmamıştır. Ele geçen tüm belgeler, Yunan öncesi dönemde, matematiğin empirik düzeyi aşmadığını göstermektedir. Ama gene de, ele alınan problemlerin, ulaşılan sonuçların zenginliği göz önünde tutulursa, övgüye değer bir başarıyla karşı karşıya olduğumuz yadsınamaz. Sınırlı da kalsa, sınama-yanılma yönteminin etkinliğini görmezlikten gelemeyiz. Özellikle 60 yıl içinde adı geçen iki kültür çevresinde yürütülen araştırma ve kazılar büyük yoğunluk kazanmıştır. Ortaya çıkarılan belgeler arasında Mısır’da bulunan Ahmes Papirüsü ile şimdiye dek okunabilen 300 kadar Babil tabletinden söz edilebilir.

Sayıların karelerini, küplerini, kareköklerini, küp köklerini veren cetveller hazırlanmış olduğu anlaşılmıştır. Kullandıkları değerler, bugünkü değerlere oldukça yakındır. Örneğin, karekök 2 için 1,416 gibi bir değer kullanmışlardır. Bu, günümüzde, 1,4142 gibi bir yaklaşıklık olarak alınmaktadır. Dikkat edilirse aralarındaki fark sadece 0,002 kadardır.

Geometriyi daha çok analitik anlamda çözümlemeye çalışmışlar ve daima hesap yolunu bir seçenek olarak kullanmışlardır. Belli ki o çağlarda henüz sentetik bir uygulama tarzı oluşmamıştır. Süslemelerle ilgili olarak, daire içine düzgün altıgen çizmek gibi, geometrik şekiller oluşturdukları gözlenebilmektedir. Bu süslemelere tavanlarda, yerlerde rastlanmaktadır. İ.Ö. XVIII yüzyıla ait bir tabletin çözümlenmesi sonucu Babil Uygarlığı’nda, bizim Pisagor bağıntısı olarak bildiğimiz, 3 ve 4 sayılarının karelerinin toplamının 5 in karesine eşit olması ve bunun genellenmesi suretiyle a2  = b2  + c2  ilişkisi bilinmektedir. Bu konu, Pythagoras’dan yaklaşık 1200 yıl önce, bu uygarlıkça incelenmiş ve belirlenmiştir. Üç sütundan oluşan tablette, ilk sütuna a2 / b2, ikinci sütuna b ve üçüncüsüne de a sayılarının kaydedilmiş olduğu görülmüştür. c ye ait sayılar ise belirlenememiştir. Bu ve benzeri konularla ilgilenen Babil’lilerin, sayılar arasındaki ilişkilere özel bir ilgi duydukları anlaşılmaktadır. Hatta yine bazı tabletlerin çözümlenmesi sonucu, sayı dizilerine, üslü ifadelere ve günümüze kadar gelmiş olan logaritma benzeri işlemlere yöneldikleri de saptanmıştır.

Eski Mısır’da ise, bulunan papirüslerden anlaşıldığına göre, İ.Ö.2000 li yılların başlarından itibaren çeşitli cebir problemleriyle uğraşıldığı sonucuna varılmıştır. Bu incelemeler sırasında, bazı bulgular, Mezopotamya’daki gelişmelerle ilgili ve ilişkili görülmüş ve bazı konulardaki gelişmelerde, paralellik olduğu gözlenmiştir. Matematiğin ilkel de olsa, Eski Mısır’da ilgi uyandırdığını, günümüzde kullanılan bir çok konumun o çağlarda ele alındığını biliyor musunuz? Nil nehri ve Nil vadisinden söz edelim… Nil, Mısır için her devirde hayat demektir. Nil nehrinin bilime katkıları da yadsınamayacak kadar çok ve önemlidir. Düzgün sakin aktığı zaman da,coşup taştığı zaman da onunla ilgili konular, insanları hep düşündürmüş ve ilgilerini çekmiş,daima onun hakkında soruların sorulmasına neden olmuştur.

İşte bu soruların yanıtlanması çalışmaları ve çabaları her seferinde yeni arayışları gerekli kılmış,ulaşılan çıkarımların kalıcılığını sağlamak için de bilim adına yeni yeni saptamalar ve kabûller  yapılmıştır. Bu yolla gelişen bir kaç konu var ki bugün daha da gelişmiş şekliyle kullanılmaktadır. Bu konudan biri Geometri diğeri de Trigonometri’dir. Bunlara belki de Topoğrafya katılabilir. Ayrıca burada ölçme kavramı, önem kazanmış görülmektedir. Bazı Mühendislik konularının oluşmaya başlaması dikkati çekmektedir. Nil vadisi, hemen her yıl taşan Nil nehri nedeniyle su ve çamurla örtülür. Bir süre sonra sular çekildiğinde, vadideki bütün arazi parçalarının,tarlaların bahçelerin sınırlarının örtülmesi, birbirine karışması demektir. Oysa insanların, paylaşılmış ve sahiplenmiş arazileri vardır. İşte bu belirsizlikten sonra, tekrar eski sınırların bulunup yeniden çizilebilmesi için, Eski Mısır’lılar çareyi matematikte bulmuşlardır.

Burda temel olarak, üçgeni ele aldılar. Çünkü üçgen, en az elemana sahip, bir düzlem tanımlayan ve en basit kapanan bir geometrik yapıdır. İstenildiği kadar çeşitlendirilebilmek gibi bir özelliği de vardır. Bu çeşitleme, kenar uzunluklarını değiştirerek ve karşılarındaki açıları düzenleyerek yapılabilmektedir. Kenarlarla açılar arasındaki ilişkiler saptanabilmekte, tanımlanabilmektedir. Kenarlar düzenlenince açılar da belirli bir düzende değişmektedir. Bu tür düşünceler geliştirilerek bir temel yapı oluşturulduğunda ortaya çıkan Trigonometri olmuştur. Esasen Trigonometri, Üçgen Ölçmek anlamına gelmektedir. Ölçme ve araziye uygulama işini de daha sonraları Topoğrafya olarak adlandırdığımız  uygulamalar gerçekleştirmiştir  olur ki, günümüz anlayışıyla bunlar birer mühendislik uygulamasıdır.

Üçgenlerin yanı sıra zaman zaman dörtgenlerin de kullanıldığı bilinmektedir. Üçgende açılarla kenarlar arasındaki ilişkiler, sinüs ya da kosinüs teoremleriyle birer ilişki olarak saptanmış ve kullanılmıştır. Doğal olarak, bu saptama sırasında da önce sinüs, kosinüs, tanjant (tangent) tanımları yapılmış, açı ölçmenin birimleri tanımlanmıştır. Bu oluşumdan sonra, önceden saptanmış bazı değerler yardımıyla örneğin aralarındaki uzaklık bilinen iki sabit nesneye ya da iki nokta (örneğin bunlar arazide iki ağaç olabilir), aralarındaki açıklık ölçülebilen iki doğrultunun oluşturduğu açı gibi bazı olgulardan yararlanarak, Nil vadisindeki araziler, şaşmaz bir doğrulukla eski sınırları çizilmek suretiyle, ortaya çıkarılabilmiş ve bu gibi kesin sonuçlar veren, kimsenin şüphelenmesine gerek kalmaksızın doğruluğu kanıtlanabilen ve aynı zamanda adalet dağıtmakta sınırsız güven uyandıran matematik, insanlar arasında özel bir saygınlık kazanmış ve bütün bu sonuçlar matematiğin zaferi sayılmıştır. Böylece ve yaşamın her kesitine giderek daha çok giren matematik, güçlüğüne karşın, hemen her devirde ve hemen her uygarlıkta ilgi ile karşılanmış ve onu seven ve ilgi duyan birileri daima çıkmıştır. Matematik de, kendisine ilgi duyanları daima yüceltmiştir.

Eski Mısır’da bilimin gelişmesine katkıda bulunan önemli bir oluşumda o muazzam Piramitler’dir. Mekaniğin ve çeşitli inşaat tekniklerinin uygulanmasıyla oluşturulan ve halâ aynı ihtişamıyla göz alan bu yapıtlar, o günün teknolojisi düşünülerek tartışıldığında bunları inşa edenlerin oldukça iyi ve o gün için yeterli sayılacak düzeyde hesap bildiklerini, bazı matematik olgulardan ve ilişkilerden haberdar olduklarını ortaya çıkarmaktadır. Yine aynı uygarlıkta, uzunluk birimi Kude diye adlandırılan ve bugünkü ölçütle yaklaşık olarak 50cm (kulaç) büyüklüğün temsil edildiği bir birim kullanılıyordu. Buna dayalı olarak, yüzölçümü birimi ve hacim birimi tanımlanmıştı. Bunları, bir kare ve bir küp ile belirliyor; ağırlık birimini de birim hacimli bir kaptaki suyun ağırlığı olarak tanımlanıyordu.

Sonuç olarak günümüzde kullanılan metrik sisteme, kavram olarak ne kadar yaklaşmış oldukları izlenebilmektedir. Yukarıda p sayısı hakkında, Mezopotamya uygarlıklarının bulgularını ve kullanımlarını çeşitli yaklaşımlarda açıklamıştık. Burada da Eski Mısır uygarlığından söz ederken, onların p sayısı hakkındaki görüş ve bulguların şöylece elden geçirelim. Görüyoruz ki Eski Mısır’da da bu sayı, kabaca bir yaklaşıklıkla, 3 olarak kullanılmıştır. Ancak daha özel bir değerlendirme, p sayısını (16/9)2 =3,16049 alarak, gerçeğe oldukça yaklaştıkları görülmektedir. Bu değeri, dairenin yüzölçümünü iyi bir yaklaşımla hesaplayabilmek için kullanmışlardır. Bu gibi çalışmaların yanı sıra, kanal açma, baraj ve bend yapma, mabet ya da tapınak ve anıtsal mezar gibi yapıtlar ortaya koyma, gemi yapımı gibi çeşitli mühendislik ürünlerinin varlığı bilinmektedir. Ayrıca madencilik ve eczacılık alanlarında da hayli gelişmeler olduğu anlaşılmaktadır