Matematik tanımları

A Matematik, sayı ve uzay bilimidir.

B Matematik, tüm olası örüntülerin incelenmesidir. (Sawyer)

C ‘Sayı ve miktarla ilgili düşüncelerle çalışmak matematiÄŸin özü deÄŸildir. Matematik, kullanılabilecek yollardan bağımsız olarak kendi içinde hesaba katılan iÅŸlemlerle ilgilidir.’ (Boole)

D ‘Aritmetik ve geometri, gerçeÄŸin matematikleÅŸtirilmiÅŸ parçasından doÄŸmuÅŸtur. Fakat sonra, en azından Antik Yunan’dan baÅŸlayarak, matematiÄŸin kendisi matematikleÅŸtirmenin öznesi olmuÅŸtur.’ (Freudenthal)

E ‘Ä°nsanların öğrenmeleri gereken kapalı bir sistemdeki matematik deÄŸildir.  Önemli olan, bir etkinlik olarak gerçeÄŸi matematikleÅŸtirme sürecidir  ve eÄŸer olanaklıysa matematiÄŸin bile matematikleÅŸtirilmesidir.’(Freudenthal)

F ‘Matematik, çevresini bağımsız olarak düzenleyen, organize eden ve denetleyen iÅŸlemlerin özellikleri ile ilgilidir.’ (Peel)

G ‘Teorik matematik bütünüyle ÅŸunun gibi bildirimleri içerir. EÄŸer bu ve bunun gibi bir önerme doÄŸruysa, o zaman bu ve bunun gibi baÅŸka bir önerme de doÄŸrudur. Ä°lk önermenin gerçekten doÄŸru olduÄŸunu tartışmamak ve doÄŸru olacağı varsayılan herhangi bir ÅŸeyden bahsetmemek gereklidir. EÄŸer varsayımımız herhangi birÅŸey hakkındaysa ve bir diÄŸer özel ÅŸey hakkında deÄŸilse, bu durumda çıkarımlarımız matematiÄŸi oluÅŸturur. Böylece matematik, ne hakkında konuÅŸtuÄŸumuzu hiç bir zaman bilemediÄŸimiz ve konuÅŸtuÄŸumuz ÅŸeyin doÄŸru olup olmadığını bilemediÄŸimiz bir konu olarak tanımlanabilir.’ (Russell)

Uygulamalı  ve  teorik  matematik

Kabaca matematiÄŸin geleneksel kalıplara uyan iki yönü vardır: uygulamalı ve teorik. Birincisi, çevrenin kimi özelliklerinin içyüzünü algılamada bir araçtır. ÖrneÄŸin üstel yada bileÅŸik büyüme fonksiyonu, zaman geçtikçe önce yavaÅŸ daha sonra hızlı artıştaki büyüme oranının geliÅŸimini algılamamızı saÄŸlar. Bu niteliklerin bazıları, hergün kapladığı alanı ikiye katlayan nilüfer gibi – Ertesi gün ne olacak, bütün göleti kaplayacak mı?- çok bilinen bulmacalarda yada küçük bir yatırımın nasıl büyüyeceÄŸini gözönünde bulunduran finans satıcılarımızın sıklıkla verdikleri nasihatlarında özetlenir. Buna baÅŸka bir örnek de enflasyon oranının düşürülmesi, yani birçok kiÅŸinin anladığı gibi fiyatların azalması ile ilgilidir. Ev ortamında, dikdörtgensel bloÄŸun simetri grubu hakkındaki ufak bir bilgi, yataktaki döşeÄŸi kaç deÄŸiÅŸik ÅŸekilde döndürebileceÄŸimizi anlatacaktır. Olasılık ve istatistikle ilgili biraz bilgi ise film yıldızlarının 7/10 ‘unun hangi diÅŸ macununu kullandığını anlatan reklamları yorumlamamıza yardım eder. Zaten üç kızımız varken bir sonraki çocuÄŸumuzun erkek olması konusunda niçin aşırı derecede umutlu olmamamız gerektiÄŸini açıklar. Bütün bunlar matematikle ilgili ‘yararlı’ özelliklerdir. Bu arada not edilmesi gereken bir ÅŸey var: Bütün bunların hepsi herhangi bir ustalığa deÄŸil kavramsal farkında olma durumunun uygulamasına dayanır. Bunlar, bazı anahtar olgular ve tanımlayıcı kavramların bilinmesinden çıkarılan tarih, coÄŸrafya, edebiyat, fen gibi müfredattaki konuların birçoÄŸundan elde edilen bilgiler ile aynı yarara sahiptir.

Matematiğin teorik yönü ise daha az yararcıdır. Bu yön, sanat ve müzik, bilmece ve problemlerin çözümü ve oluşturulması, örüntülerin tanınması ve yapılanmasının keyfini çıkarma ile örtüşür. Gazete ve dergilerdeki matematik problemleri hala izleyenleri çekmektedir. Her ne kadar tatsız okul deneyimleri tarafından çoklukla bastırılmış olsa da eğlenceli bir sanat olarak matematiğe şükranlık duyma olgusunun bir çok insanda ilk seferde ortaya çıktığı söylenebilir.

İnsanları matematik ile etkileşime sokan uygulamalı ve teorik matematik yaklaşımları, tarih boyunca matematiksel uğraşların ana kaynağı olarak tanımlanmıştır.

Sayı  ve  uzayın  bilimi

Bu tanımı inceleyelim. Bu tanım, Yunan dönemindeki matematiÄŸe pekala uygulanabilir. Ama günümüzde sayısal düşünceleri kullanabilen ancak, sayı yada uzayla ilgisi olmayan olasılık, permütasyon, mantık ve kritik yol analizini içeren grafik teorisi var. Bu geniÅŸ konu maddesinin açık tanımlaması, önermeler için x, y harflerini,’ve’ ve ‘yada’ için ‘+’ ve ‘doÄŸru’ ve ‘yanlış’ için ‘1′ ve ‘0′ rakamlarını ‘Düşünce kanunları’ adlı kitabında kullanan Boole (1847, 1845) ile ortaya çıkmıştır.

Boole’a göre, ‘Sayı ve miktarlarla ilgili düşüncelerle çalışmak matematiÄŸin özü deÄŸildir. Matematik, kullanılabilecek yollardan bağımsız olarak kendi içinde hesaba katılan iÅŸlemlerle ilgilidir.’

Bu, gerçel ve sanal sayıların, sonsuzluğun ve sonsuzluktaki nokta ikililerinin doğası hakkında bir yüzyılın zirvesi, belki de şaşkınlığıydı. Böylece Boole ile birlikte matematiğin içeriği nesneler arasındaki ilişkilerin oluşumu olarak tanımlanır oldu.  Bu

düşünce, 1968 yılında Bourbaki tarafından ‘Bütün matematik küme ve elemanlardan kaynaklanır’ fikri ile geliÅŸtirildi. Bu ÅŸemada, iliÅŸkiler ÅŸemalı ikililerin kümesidir; fonksiyonlar özel tür bağıntılarıdır; cebirsel yapılar üzerinde iÅŸlem tanımlanan kümelerdir (dolayısıyla bunlar da fonksiyonlardır) ve bu böylece sürüp gider.

Bir sonraki soru şu olabilir: Matematik bir bilim midir? Bazı yönleriyle  matematiksel sonuçlar, çoğunlukla örneklerle ve düzenlemelerine bakılarak bulunduğu için evet. Dahası nasıl bilimdeki teoriler zıt deneysel sonuçlar tarafından çürütülüyorsa karşı örnekler de matematikteki varsayımları çürütür. Fakat matematikte deneyi yapılacak ham malzeme fiziksel olay değil, sayılar, geometrik şekiller yada diğer matematiksel nesnelerdir. Doğaldır ki matematikte herhangi bir bilimsel deneye göre daha kesin bir biçimde sonuç veren tümdengelimli kanıt vardır. (Kanıt hakkındaki metinlere bakın)

Bağlantılı  düşünme  olarak  matematik

Matematik yapmak,  ilişkiler olarak adlandırdığımız zihnin özel bir durumunu benimsemek demektir. Kişi, ilişkileri gerçek ve karmaşık durumlardan ayırdedebildiğinde ve sonra bu ilişkileri daha ileri ilişkiler keşfetmek için yeni durumlar yaratmada kullanabildiğinde matematikçi olarak adlandırılır.

Matematiği öğretmek, bağlantıların yaratılmasında zihin özgürlüğü oluşturmaktır, öğrencinin bağlantılı düşünmelerin varlığından haberdar olmasını sağlamak için yardım etmek demektir. Yani öğrencilere bu tür bir durum için sevgi oluşturmada güç vermek ve aklın gücünün evrenle iletişimini arttıran bir insani zenginlik olarak ele alınmasını sağlamaktır.

Şu açık ki, burada bir akıl yürütme nakletmek için çalışmaktan çok mekanik bir işlem ve basamak sözkonusudur.

Kesinliğe hayranlık gerçekte bir zayıflıktır. Öğrencilerimizin bağlılığının çok katı standartlara uymasını istemeden önce, resmi bir şekilde iletişim kurallarının oluşumunu haklı çıkarmak için öğrencilerin yeterli deneyime sahip olduklarından emin olunmalıdır. Çok erken bir zamanda uyulması istenen kesinlik, gerçek durumu anlayamamanın bir göstergesidir. Görevimiz, öncelikle öğrencilerimizin matematikte deneyim kazanmasını sağlamaktır. Zamanla ilişkilerin farkında olma durumu arttıkça, konuşma biçiminin çok anlamlılığından kaynaklanan bir gereklilikle iletişimde daha fazla doğruluk için doğal bir istemimiz olur. Böylece hem ilişkilerin keşfedilmesindeki artan farkında olma durumu hem de iletişim istemleri, sözel kanıt ve resmi gibi görünen kesinlik için doğal bir ortam sağlar. Artık bu durum, dışarıdan empoze edilmiş gibi görünen yada gençlerin zihinlerine zulmetmek için tasarlanan bir şey olmaktan çıkar.

Soyutlamalar,  kanıtlar  ve  uygulama  olarak  matematik

Matematik hakkındaki yüzeysel bir bilgiyle bile matematiğin belli başlı karakteristik özelliklerini tanımak kolaydır. Yani Matematiğin soyutluğu, doğruluğu, mantıksal kesinliği, sonuçlarının tartışma götürmeyen karakteri ve sonuç olarak uygulamalarının alışılmadık yayılımı.

Soyutlama

Matematiğin soyutluğunu görmek kolaydır. Her farklı durum için nesneleri somutlarken nasıl bir ilişki kuracağımızın kaygısına düşmeden soyut nesnelerle çalışırız. Aynı şey geometride de geçerlidir. Örneğin düz doğrular ve esnek olmayan vida dişleri düşünülebilir. Daha genel olarak geometrik bir şekil kavramı, uzayla ilgili formu ve boyutları dışında gerçek nesnelerin bütün özelliklerinden çıkan bir soyutlama sonucudur.

Fakat soyutlama, sadece matematiğe has bir özellik değildir. Genel olarak zihinle ilgili bütün etkinliklerle birlikte soyutlama bütün bilimlerin karakteristiğidir. Bu nedenle, matematiksel kavramın soyutluğu, matematiğe özgü karakterlerin tam bir tanımını kendi içinde vermez.

Matematiğin soyutlaması üç özelliğiyle diğerlerinden ayrılır. Birincisi, bu her şeyden önce nesneleri bütün diğer özelliklerinden soyutlayarak nicel ilişkiler ve uzayla ilgili formlarıyla ilgilidir. İkincisi, diğer bilimlerin soyutluğundan daha ileri giderek soyutlamanın artan derecelerinin bir dizisi olarak ortaya çıkar. Bu iki özelliği, sayı ve şekillerin temel fikirlerini içeren örnekleri kullanarak daha sonra göstereceğiz. Son ve açık bir şekilde matematik, soyut kavramların ve bu kavramlar arası ilişkiler alanının hemen hemen tümünde hareket eder. Doğal bilimciler varsayımlarını kanıtlamak için sürekli deneye yönelirken matematikçiler yalnızca mantıklı düşünme ve hesapla uğraşırlar.

Kanıt

Matematikçilerin teoremleri ve metodları keşfederken modelleri ve fiziksel benzerliklerden sürekli yararlandıkları yaptıkları da doğrudur. Matematikçiler, tüm somut örneklere başvururlar. Bu örnekler, teorinin gerçek kaynağı ve teoremlerinin keşfedilmesinin bir yolu olarak hizmet eder. Fakat hiç bir teorem mantıksal bir düşünüş tarafından kesin olarak kanıtlanmadıkça mutlak olarak matematiğe ait olamaz.

Kanıtın matematiksel anlamı, üç yönlüdür. Birincisi, bir önermenin doğruluyla ilgili doğrulama yada haklı çıkarmadır. İkincisi aydınlatmadır. Bunda, iyi bir kanıtta önermenin  niçin doğru olduğunu ifade etmesi beklenir. Bu, kanıtın geçerliliğini etkilemez. Fakat bir kanıtta bulunması estetik olarak memnun edicidir. Kanıtın üçüncü yönü ise en karakteristik matematiksellik olan sistematikleşmedir. Örneğin aksiyomların tümdengelimli sisteminde sonuçların organizasyonu, ana kavramlar, teoremlerdir ve ikincil sonuçlar bunlardan çıkarılabilir. (Skemp (1971) ve Ausbel (1968) gibi psikologlar da iyi bağlanmış bir sistemin öğrenmeyi ve bellekte tutmayı kolaylaştırdığını açıklamışlardı.)

Kanıtın gerekli bir toplum aktivitesi olduğunu ileri sürmüş olsak da bir genellemenin gelişimine eşlik eden iç hesaplaşma ve kabul yada reddin dışında gelişir. Bunun aşama aşama daha fazla bir şekilde dışlandığı varsayılabilir. Önce, birinin diğerleri üzerinde genelleştirmesini dener; fikirleriyle çatışmalar çoğunlukla kişilerde yeni bir varsayıma yol açar. Fakat sonunda kanıta başvurma vardır. Daha sonra, önermenin yazılı bir ifadesi ve potansiyel karşı-örnekler tarafından daha etkili saldırı için ve zeminin bilinçsiz kaymasından sakınmak amacıyla ihtiyacın gerçekleştirilmesi olabilir. Son basamaklar, mantıklı düşünceyi yazılı biçimde oluşturmaya yönelik gereksinmenin bilincinde olma başlangıç varsayımlarına yada aksiyomlara olan gereksinmesidir.

Gelişmenin en kuvvetli ivmesi, sınıfça yapılan işbirliği ve araştırma türü etkinliklerdir. Bu yolla, farklı öğrenciler tarafından yapılan bir durum araştırması farklı varsayımlara yol açacak, mantıklı düşünceler ve kanıtlar çatışmaların çözülmesine olanak sağlayacaktır. Bu, gerçek matematiğin gelişmesini sağlayan biricik yoldur. Matematik, Tanrı tarafından verilmiş birşey yada hazıra konduğunuz bir bilim değildir, problem çözerek yürütülür.

Uygulamalar

Son çözümlemede, göreceğimiz soyutluğu ve kökeniyle matematiğin gerekliliği, gerçek dünyadaki kavramından ve sonuçlarından ortaya çıkar. Matematik, mühendislik gibi diğer bilimler ve gündelik hayatın bütün uygulamalarında geniş bir uygulama alanı bulur. Bunu gerçekleştirmek, matematiği anlamak için en önemli önkoşuldur.

Uygulamalarının genişliği, matematiğin başka bir karakteristik özelliğidir.

İlk aşamada , matematiğin çok çeşitli kavramları ve sonuçları, onlar hakkında artık çok fazla düşünmeden endüstriyel, özel ve sosyal hayatta sürekli olarak kullanılmaktadır. Örneğin, harcamaların hesaplanması için aritmetik, bir apartmanın kaç metrekare olduğunu bulmak için geometri kullanılır. Doğaldır ki buradaki kurallar çok basittir. Ama şu akıldan çıkarılmamalıdır. Antik çağın bir döneminde bu kurallar, çağının en ileri matematiksel gelişmeleri olarak düşünülüyordu.

Kanıt ve aksiyom sistemleri

Bir kanıt, belirli bir sonucun mantıksal olarak belirli baÅŸlangıç varsayımlardan (aksiyomlar veya önermelerden) doÄŸduÄŸunu göstermek için vardır. Bu yüzden, Euclid’in tipik okul davranışında, eÄŸer birisi benzerlik teoreminin doÄŸruluÄŸunu varsayıyorsa – yani eÄŸer iki üçgenin üç kenarının uzunlukları sırayla örtüşüyorlarsa – o zaman her yönden (konumu hariç) birbirleriyle örtüşürler sonucunu çıkarır. ÖrneÄŸin bir dairede aynı yayı gören açılar eÅŸittir yada eÅŸkenar bir üçgenin taban açıları eÅŸittir gibi. Yunan Dönemi’nde, baÅŸlangıç noktaları, kendiliÄŸinden kanıtlı gerçekler olarak görüldü. Fakat Euklid’çi olmayan geometrilerin olasılığının 18. yy. da ortaya çıkışı bizi sonunda ÅŸunları tanımaya götürdü. Aksiyomlar- ne olursa olsunlar- herhangi bir ifade olabilirler. Tanımsız terimler içerebilirler. Daha sonra sonuçlar, aksiyomları doÄŸrulayan herhangi bir nesnenin doÄŸru olabileceÄŸini kanıtlayabilir. Bütün bunları gözönünde bulunduran Russell ÅŸu ‘kötü niyetli’ ifadede bulundu. ‘Matematik öyle bir ÅŸeydir ki, hiç bir zaman ne hakkında konuÅŸtuÄŸumuzu ve söylediklerimizin doÄŸru olup olmadığını bilemeyiz.’

Ä°kizkenar üçgen örneÄŸi bize ÅŸunu hatırlatıyor. Aksiyomatik bir sistemde kiÅŸi kendini açık olan bir ÅŸeyi kanıtlıyormuÅŸ gibi görebilir. Oysa genellikle matematiksel alanla ilgili ayrıntılı bilgi, sonuçta sistemde ‘orta teoremler’ olabilecek bazı iliÅŸkilerin tanınmasıyla baÅŸlar. KiÅŸi bunlarla ilgili bir bütünü oluÅŸturunca, geri kalan her ÅŸeyi onlardan çıkartacak biçimde verilen ifadeler arasında bir minimal küme aranır. Bu çalışmanın ilgisi, sonuçlar bütünü gerçeÄŸinin yalnızca bir daha fazla güven saÄŸlaması içindir. Dayandıkları temel özelliklerin neler olduÄŸunu bulmakla daha fazla ilgilidir. Dönüşümsel bir bakış açısından baktığımızda geometrinin tümevarımsal bir biçimde incelenmesinde ikizkenar üçgen teoremi, örneÄŸin, bir aksiyom olabilirdi.